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这是我阅读陈希孺概统和东大概统所整理的笔记, 此外还补充了一些其它的性质与结论.

• 主线: 读书笔记与总结.

  • 概率论

    • 事件的概率

    • 随机变量及概率分布

    • 随机变量的数字特征

  • 数理统计

    • 参数估计

    • 假设检验

• 附录: 大概就是 "字典" 吧, 暂时还不太完整.

  • 笔记附录 (PDF): 便于查看目录.

  • 笔记附录 (HTML): 可以直接在网页内打开图像链接并调整图像参数.

    • 概统常用积分表

      • 可以数归, 但建议使用 Euler 积分换元.

      • 除极少数公式外不必记忆, 遇到现推或查表即可.

    • 常见分布及其性质

      • 分为三个部分

        • 一维离散型随机分布

        • 一维连续性随机分布

        • 多维连续性随机分布.

      • 每个分布分为四个方面

        • 基础概念: 记号, 理解, 密度函数, 概率分布等.

        • 数字特征: 期望, 方差, 中位数, 矩, 偏度, 峰度等.

        • 其它性质: 应用, 变量函数的分布, 统计量的分布等.

        • 参数估计: 矩估计, 极大似然估计, 区间估计, 贝叶斯估计等.

    • 数列和常数

      • 卡特兰数 (明安图数)

      • 卡特兰常数: 这里有许多积分, 但概统用不到.

注意:

不同教材采用的符号不同, 甚至定义也不同.

出于个人习惯,

1. 交并差补我采用了 $AB,A+B,A-B,\bar{A}$$AB, A+B, A-B, \overline{A}$ 的符号.

2. 随机变量的概率使用 $P(X=i)$$P(X = i)$ 而不是 $P\{X=i\}$$P\Bqty{X=i}$.

3. 正态分布的上 $\alpha$$\alpha$ 分位数有时候用 $u_{\alpha }$$u_\alpha$, 有时候用 $z_{\alpha }$$z_\alpha$.

4. F 分布的上 $\alpha$$\alpha$ 分位数有时候用 $F_{\alpha }(m,n)$$F_\alpha(m, n)$, 有时候用 $F_{m,n}(\alpha )$$F_{m, n}(\alpha)$.

等等, 不过这些一般不会引起歧义.

常用分布的符号则比较容易产生误解, 如几何分布有如下常见定义:

1. $\mathrm{GE}(p):P(X=i)=p(1-p{)}^i$$\mathrm{GE}(p) : P(X = i) = p(1-p)^i$.

   这样定义的一部分原因是为了使得

   1. $\mathrm{GE}(p)\sim NB(1,p)$$\mathrm{GE}(p) \sim NB(1, p)$.

   2. 若 $X_1,X_2,\cdots ,X_n$$\soneto{X}{n}$ 独立同分布 $\mathrm{GE}(p)$$\mathrm{GE}(p)$, 则 $X_1+X_2+\cdots +X_n\sim NB(r,p)$$\splus{X}{n} \sim NB(r, p)$.

2. $\mathrm{G}(p):P(X=i)=p(1-p{)}^{i-1}$$\mathrm{G}(p) : P(X = i) = p(1-p)^{i-1}$.

   这样定义可以简化其数学期望与母函数的表达式.

3. $\mathrm{Geo}(q):P(X=i)=(1-q)q^i$$\mathrm{Geo}(q) : P(X = i) = (1-q)q^i$.

   这样定义的好处是: 若 $X_i\sim \mathrm{Geo}(q_i)$$X_i \sim \mathrm{Geo}(q_i)$ 相互独立, 则 $\underset{i}{min}{X}_i\sim \mathrm{Geo}(\prod _i{q}_i)$$\min_i X_i \sim \mathrm{Geo}(\prod_i q_i)$.

如果遵守这样的约定, 则不会有歧义, 但有时候甚至无法用名称区分, 如指数分布:

1. $E(\lambda ):\lambda {\text{e}}^{-\lambda x}$$E(\lambda): \lambda \e^{-\lambda x}$.

2. $E(\lambda ):{\displaystyle \frac{1}{\lambda }}{\text{e}}^{-\frac{x}{\lambda }}$$E(\lambda): \dfrac{1}{\lambda} \e^{-\tfrac{x}{\lambda}}$. (此笔记不会采用这个记号)

更有甚者, 在不同的资料上能看到四种不同的负二项分布定义, 相应的数字特征结论也有所区别.

诸如此类都是定义分歧的重灾区, 建议在正式使用时预先说明所选取的定义. 我的笔记里使用的分布记号均与附录中相同, 而对一些容易区分的符号可能有混用的情况 (如上 $\alpha$$\alpha$ 分位数).